作业帮已知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求A的非空子集的所有元素之和.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 11:26:53
已知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求A的非空子集的所有元素之和.
已知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求A的非空子集的所有元素之和.
已知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求A的非空子集的所有元素之和.
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
A的子集个数是2^10个,其中有一个空集.
A中的每个元素出现的次数是2^9 次.
因此
A的非空子集的所有元素之和
= 1*2^9 + 2*2^9 + 3*2^9 + …… + 10*2^9
= (1 + 2 + 3 + …… + 10)*2^9
= 55*2^9
= 55*512
= 28160
包含元素1的非空子集B有多少个呢？
可以包含元素2或是不包含2
可以包含元素3或是不包含3
....
可以包含元素10或是不包含元素10
B的个数总共有2×2×2...×2 = 2的9次方个
那么，把A的所有非空子集的元素加起来的时候，1这个元素被加了2的9次方次。1对总和的贡献为1×2^9
同理，包含元素2的非空子集B：
可以包含1...
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包含元素1的非空子集B有多少个呢？
可以包含元素2或是不包含2
可以包含元素3或是不包含3
....
可以包含元素10或是不包含元素10
B的个数总共有2×2×2...×2 = 2的9次方个
那么，把A的所有非空子集的元素加起来的时候，1这个元素被加了2的9次方次。1对总和的贡献为1×2^9
同理，包含元素2的非空子集B：
可以包含1或不包含；包含3或不包含......
同理，2这个元素被加了2的9次方次，贡献：2×2^9
同理推3,4,...10
所以所有非空子集的元素的总和为：
1×2^9 + 2×2^9 + ... + 10×2^9
=(1+2+...+10) × 2^9
=(1+10)*10/2 × 2^9
= 55×2^9
= 55×512
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