已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 15:23:09
已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an

已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an
已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an

已知数列an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3).a1=1,a2=2,a3=3 用数学归纳法证明 an
证明:①当n=1,2时 显然成立;
②假设:当n=k(k∈N*)时假设成立,即ak<3^n,
即:a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)+…+a1<3^n
当n=k+1时,a(k+1)=an+a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)+…+a1
=2an<2*3^n<3^(n+1)
故假设成立!
由①② 知:当n=k+1时,假设成立!
综上:an<3^n成立! 证毕!

(一)显然,当n=1,n=2,n=3时,有a1=1<3¹,a2=2<3²,a3=3<3³.(二)假设当1≤k≤n-1时,有ak<3^k.(k=1,2,3,...n-1).∴a(n-1)<3^(n-1),a(n-2)<3^(n-2),a(n-3)<3^(n-3),三式相加得:an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)<3^(n-1)+3^(n-2)+3^(n-3)=...

全部展开

(一)显然,当n=1,n=2,n=3时,有a1=1<3¹,a2=2<3²,a3=3<3³.(二)假设当1≤k≤n-1时,有ak<3^k.(k=1,2,3,...n-1).∴a(n-1)<3^(n-1),a(n-2)<3^(n-2),a(n-3)<3^(n-3),三式相加得:an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)<3^(n-1)+3^(n-2)+3^(n-3)=[1+3+3²]×3(n-3)=13×3^(n-3)<27×3^(n-3)=3^n.即an<3^n.∴对任意正整数n,恒有an<3^n.

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