若a＞0,b>0,a+b=1,则ab+1/ab的最小值

若a＞0,b>0,a+b=1,则ab+1/ab的最小值
若a＞0,b>0,a+b=1,则ab+1/ab的最小值

若a＞0,b>0,a+b=1,则ab+1/ab的最小值
a>0,b>0
1= a+b>=2√(ab)
√(ab)

设f(x,y)=xy+1/xy(x>0,y>0)
L=xy+1/xy+c(x+y-1)
L'x=y-1/(x^2*y)+c (1)
L'y=x-1/(xy^2) (2)
L'c=x+y-1 (3)
令L'x=0,L'y=0,L'c=0，并(1)-(2)得
y-x+(x-y)/(x^2*y^2)=0
即y-...

全部展开

设f(x,y)=xy+1/xy(x>0,y>0)
L=xy+1/xy+c(x+y-1)
L'x=y-1/(x^2*y)+c (1)
L'y=x-1/(xy^2) (2)
L'c=x+y-1 (3)
令L'x=0,L'y=0,L'c=0，并(1)-(2)得
y-x+(x-y)/(x^2*y^2)=0
即y-x=0或x^2*y^2=1（舍去，因x<1，y<1）
x=y代入(3)得：x=y=1/2
故ab+1/ab的最小值为：1/2*1/2+1/[1/2*1/2]=4.25

收起