Sin ²A+sin²B+sin²C＜2,求三角形形状

Sin ²A+sin²B+sin²C＜2,求三角形形状
Sin ²A+sin²B+sin²C＜2,求三角形形状

Sin ²A+sin²B+sin²C＜2,求三角形形状
1-cos²A+1-cos²B+1-cos²C=1/2-[cos2A]/2+1/2-[cos2B]/2+1-cos²C=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos²C=2+cosC[cos(A-B)-cosC]=2+cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]=2+2cosCcosAcosB；
2+2cosCcosAcosB＜2,cosCcosAcosB＜0,三角形中一角大于90°,为钝角三角形.

1-cos2A+1-cos2B+1-cos2C<4
cos2A+cos2B+cos2C+1>0
2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²C>0
cos(A+B)cos(A-B)+cos²(A+B)>0
cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]>0
-cosC[2cosAcosB]>0
即cosCcosAcosB<0
所以ABC中必有一个是钝角，结论钝角三角形

三角形内角和为180
A+B+C=180
所以Sin ²A+sin²B+sin²C＜2
sin^2(180-B-C)+sin²B+sin²C＜2
sin^2(B+C)sin^2Bcos^2C+2sinBsinCcosBcosC+sin^2Ccos^2B

全部展开

三角形内角和为180
A+B+C=180
所以Sin ²A+sin²B+sin²C＜2
sin^2(180-B-C)+sin²B+sin²C＜2
sin^2(B+C)sin^2Bcos^2C+2sinBsinCcosBcosC+sin^2Ccos^2B2sinBsinCcosBcosC<2cos^2Bcos^2C
tanBtanC<1
同理可得
tanAtanC<1
tanAtanB<1
1）如果A\B\C中有一个为钝角，令A>90
则tanA<0,tanB>0,tanC>0
tanB<1/tanC=tan(90-C)
B<90-C
B+C<90
满足A是钝角的假设
2）如果A\B\C都为锐角
则tanA>0,tanB>0,tanC>0
tanB<1/tanC=tan(90-C)
B<90-C
B+C<90
则A=180-B-C>90
矛盾
假设不成立
综合1)、2)可知A\B\C中有一个钝角，即三角形为钝角三角形

收起

钝角三角形
但我不知道你是填空题还是什么，快速作答可假设值来确定
1，设3个角都是60度，不满足
2，设是等腰直角三角形，不满足
3，得出是钝角三角形。