求完整的解法,微分方程的列法要详细
求完整的解法,微分方程的列法要详细
求完整的解法,微分方程的列法要详细
求完整的解法,微分方程的列法要详细
设电路下端接地,i=ic2(t),v=vc2(t),则C2的电容方程 i = 1/3 * v'.
则R2的电流为i,故R2左端电势=i×1+v=i+v.
则R1的左右电势差=e-i-v,电流=(e-i-v)/1=e-i-v.
因此根据基尔霍夫电流定律,C1电流=e-i-v-i=e-2i-v.而C1电压=R2左端电势=i+v.
则代入C1的电容方程,得e-2i-v=1/2 * (i'+v'),
把v'用3i代替,得e-2i-v=1/2 * (i'+3i),
两边在对t求导,得e'-2i'-v'=1/2 * (i''+3i')
把v'用3i代替,得e'-2i'-3i=1/2 * (i''+3i')
得i''+7i'+6i=2e',即i''+7i'+6i=4cos(2t)u(t),
看下边界条件,因为e(0+)=e(0-)=0,所以v(0)=0,i(0)=0,而e-2i-v=1/2 * (i'+3i),因此i'(0)=0.
后面解二阶微分方程即可,特征根-6和-1.而特解是i=Acos(2t)+Bsin(2t)的形式,代入
(-4A+14B+6A)cos(2t)+(-4B-14A+6B)sin(2t)=4cos(2t)
得A=0.04,B=0.28,即特解i(t)=0.04cos(2t)+0.28sin(2t).
则一般解 i(t)=0.04cos(2t)+0.28sin(2t)+Ce^(-6t)+De^(-t).
代入边界条件得C=0.12,D=-0.16,
即 i(t)=0.04cos(2t)+0.28sin(2t)+0.12e^(-6t)-0.16e^(-t).
因为v'=3i,代入v(0)=0,积分得 v(t)=0.06sin(2t)-0.42cos(2t)-0.06e^(-6t)+0.48e^(-t).
计算可能有错,但是大概思路,尤其是列式,是不会错的.